复变量与收敛域
对离散序列 x[n]，双边 Z 变换定义为 X(z)=Σ x[n]z⁻ⁿ，求和遍及所有整数 n，z 是复变量。它不是把时间变量简单换一个名字，而是用一族复指数给序列加权，再把所有时刻的贡献相加。能使这个级数绝对收敛的 z 构成收敛域；离开这一范围，形式上写出的求和不能直接视为变换值。
在常见的有理函数情形，收敛域是以原点为中心的环形区域，也可能向内或向外延伸。极点不属于收敛域，却能界定其边界。只给出分子、分母，通常还不能唯一恢复时间序列；时域支撑在哪些时刻，同样是变换信息的一部分。
参考：[1]
同一个分式，两种序列
取 a=1/2。右边序列在 n≥0 时为 aⁿ，在 n<0 时为零。其变换来自几何级数，得到 X(z)=z/(z−a)，条件是 |z|>|a|。它随时间衰减，并包含 n=0 的数值 1。
另取左边序列，在 n≤−1 时为 −aⁿ，在 n≥0 时为零。重新按负时间项求和，也得到 z/(z−a)，但收敛条件变成 |z|<|a|。这不是前一个序列换了符号那么简单：它只占据负时间，并向负时间方向增长。两者的极点都在 z=a，收敛域却位于极点圆的不同侧。反变换若忽略收敛域，就把这项关键区别丢掉了。
参考：[1]
卷积、极点与单位圆
线性时不变系统的零状态输出满足 y[n]=h[n]*x[n]。在相应级数收敛的范围内，卷积化为乘法 Y(z)=H(z)X(z)。乘积的收敛域至少包含两者收敛域的交集；若发生极点与零点抵消，范围还可能扩大。因此，代数约分和时域条件需要一起检查。
令 z=eʲω，单位圆上的 Z 变换对应离散时间傅里叶变换，但前提是单位圆属于收敛域。这里的 ω 是每个采样间隔的角频率，不直接等于以赫兹计的频率。线性时不变系统有界输入有界输出稳定，等价于冲激响应绝对可和，也对应 H(z) 的收敛域包含单位圆。
对因果、有理的系统，收敛域位于最外层极点之外，稳定性因而要求所有极点严格位于单位圆内。去掉因果这一前提，只看极点是否在圆内就不足以判断。上面的右边序列包含单位圆，而左边序列没有，这正展示了收敛域的作用。
单边变换与初始状态
单边 Z 变换只从 n=0 开始求和，适合处理某一初始时刻之后的差分方程。由于负时间部分不再纳入总和，平移公式会出现初始值项，不能直接照搬双边变换的平移关系。
传递函数通常描述零初始状态下输入到输出的关系；若系统已有储存的状态，输出还包括由初始状态引起的响应。单边变换有助于把这些项明确列出。因此，使用 Z 变换解题时，先说明采用哪一种定义、序列的时间范围和收敛条件，比先把方程化成分式更重要。
参考：[2]