逻辑斯谛增长

逻辑斯谛增长亦译逻辑斯蒂增长，英文为 logistic growth。经典连续时间模型写作 dN/dt＝rN(1－N/K)：N为种群数量，t为时间，r为低密度下的人均净增长率，K为给定条件下的平衡数量，通常解释为环境承载量。以下讨论取r、K均为正且固定。

这里下降的是人均增长率r(1－N/K)，并非一开始总数量便增长得越来越慢。数量增加使资源竞争或其他拥挤效应加强，负反馈逐步抵消增长。模型将复杂过程压缩为数量与净增长之间的关系，并未分别说明食物、出生、死亡各自怎样作用。

参考：[1]

由方程可知，N远小于K时，增长近似指数形式；从小种群开始，曲线先加速、后减速，并渐近K。对rN(1－N/K)求导可得，总增长量在N＝K/2时最大。这与人均增长率持续下降并不矛盾。

若初始数量已高于K，轨迹会下降而不是呈完整上升的S形；若从K/2以上但低于K开始，则只见减速增长段。固定参数、无时滞的连续模型本身不会反复越过K。因而实际种群的超调和周期不能直接归给这一最简方程。

参考：[1] [3]

培养酵母等系统可以出现增长逐渐趋缓的轨迹，但野外种群常有更明显的波动。拟合时应区分真实数量变化与抽样、计数造成的误差，并检查数据是否覆盖足够广的数量范围。只观察到接近平衡的一小段，便很难可靠地推断低密度时会怎样增长。

克拉克等2010年研究可调曲线形状的θ逻辑斯谛模型，发现形状参数与最大增长率能相互补偿，不同参数组合可同样贴近资料，却给出不合理的生物学解释。这一结果针对扩展模型，并不意味着所有经典逻辑斯谛拟合都无效；它说明参数不确定性与生物学约束不能被一条平滑曲线代替。

参考：[1] [2]

K并不是某物种在任何地点都相同的常数。食物供应、栖息空间及季节改变时，适用的平衡水平也会移动。将这类变化一概当成随机误差，可能把环境作用误判为密度反馈。因此，模型适用的地点、时段和观测尺度应与参数同时交代。

另一种扩展让限制效应取决于过去的数量N(t－τ)，而不是当下数量。亨德里克斯与穆尔德的时滞模型研究表明，这种延迟反馈可造成超调和振荡；但周期也可能来自捕食关系等过程。判断机制需要独立证据与模型比较，不能仅凭曲线像S形，或数量围绕一个水平波动，就宣布同一种增长规律成立。

参考：[2] [3]