从命题到对象与关系
命题逻辑可以把整句陈述当作一个字母，一阶逻辑则允许进入句子内部。例如 P(a) 可表达对象 a 具有性质 P，R(a,b) 可表达 a 与 b 之间的某种二元关系。谓词的位置有顺序：R(a,b) 与 R(b,a) 一般不是同一断言。常量用来指称对象，变量则为对对象作一般性陈述提供位置。
公式按照明确的语法规则形成：从原子公式出发，应用否定、合取等联结词及量词。变量出现可以是自由的，也可以受量词约束；没有自由变量的公式称为语句。P(x) 留有待赋值的位置，∀xP(x) 则把 x 约束起来。语法合格只说明写法符合规则，并不保证内容为真。
“一阶”指变量的取值范围是论域中的对象；让变量对这些对象的性质或关系取值，则进入高阶逻辑的范围。
参考：[1]
解释与满足
解释给出论域以及非逻辑符号的含义；在通常的一阶语义中，论域非空，常量指向其中的对象，一元谓词对应对象集合，多元谓词对应关系。对含自由变量的公式，还需要指定变量所取的对象。所谓满足，就是在这些指定之下，公式所要求的条件成立。
例如取论域为数 1 和 2，令 P 表示“是偶数”，常量 a 指向 2。此时 P(a) 为真，∃xP(x) 也为真，但 ∀xP(x) 为假，因为 1 不满足 P。全称量词要求论域中每一个对象都满足条件，存在量词只要求至少一个。量词遍历对象，而不是只检查已经命名的对象。
量词次序不是装饰
∀x∃yR(x,y) 与 ∃y∀xR(x,y) 的要求不同。前者允许为不同的 x 选择不同的 y；后者要求找到一个统一的 y，使它对每个 x 都满足关系。只调换两个量词的位置，就可能把一个真命题变成假命题。
可在两元素论域 {1,2} 中直接核验：令 R(x,y) 表示 x 与 y 相等。每个元素都能选择自身，因此 ∀x∃yR(x,y) 为真；却没有一个元素同时等于 1 和 2，因此 ∃y∀xR(x,y) 为假。这样的有限模型能清楚显示量词次序造成的差异，无须依赖含混的日常措辞。
参考：[3]
模型中的真与逻辑有效性
一个语句可在某个解释中为真、在另一个解释中为假；逻辑有效则要求它在所有允许的解释中都为真。同样，前提蕴涵结论，是说不存在让全部前提为真而结论为假的解释。只展示一个支持结论的模型，不能证明这种普遍的逻辑关系。
从 ∀xP(x) 推出 P(a) 是有效推理，因为常量 a 指称论域中的对象；从 ∃xP(x) 推出 P(a) 则一般无效，满足 P 的对象未必就是 a。可满足性仅要求存在一个使语句成立的解释。将这些概念分开，才能避免把某个特定世界中的事实，误当作纯粹由逻辑形式保证的结论。
语义有效性还可与形式证明相联系：一阶逻辑的完备性定理表明，适当演算中的可证明性能够捕获所有解释下的有效性。但这不提供一个对任意公式都能停下来回答“有效或无效”的判定程序；一般的一阶有效性问题不可判定。逻辑规则是否足以证明每个有效公式，与某个自动过程是否能在所有输入上完成判断，是两种不同要求，不能因为存在完备证明系统就把后者也视为已经解决。