采样定理

以间隔 T 采样，就是记录 x[n]=x(nT)，采样率 fₛ=1/T。一般连续信号可以在样点之间以许多不同方式变化，所以离散样本本身并不能确定任意波形。采样定理增加了关键限制：若基带信号在绝对频率大于 B 处没有频谱成分，且 fₛ>2B，就可在理想条件下从完整样本序列唯一重建。

2B 常称该信号的奈奎斯特速率，而 fₛ/2 是给定采样系统的奈奎斯特频率。这是不同的两个量。采用严格大于的条件可以避免边界频率的歧义；仅说“每周期两点”，没有说明频谱、相位与边界条件，并不是充分的实际设计准则。

参考：[1]

从频域看，均匀采样会在采样频率的整数倍位置复制原频谱。副本互不重叠时，可用合适的理想低通重建保留所需部分；副本重叠则可能把不同的连续信号变成同一串样本，这就是混叠的核心问题。

例如用每秒1000个样本记录余弦波，频率100赫兹和900赫兹、相位同为零的两个信号会给出相同样本，因为 cos(2π·900n/1000)=cos(2π·100n/1000)。若没有额外的频带先验，仅凭这些样本无法判定原信号是哪一个。事后画得更平滑或插入更多数值，都不会凭空补回这一差别。

参考：[1] [2]

通常的基带采集系统在模数转换前放置模拟抗混叠低通滤波器，衰减会折入目标频带的高频信号与噪声。只在采样之后作数字低通，不能一般性地区分已经混叠到同一频率的目标成分与干扰；预先滤波和事后滤波承担不同任务。

实际滤波器没有理想的垂直截止边缘，而有过渡带、通带误差和有限阻带衰减。因此工程上往往把采样率选得高于最低理论要求，给滤波留出余量。怎样取余量取决于目标频带、带外干扰和允许误差，并不是固定的万能倍数。某些带通信号可以有意采用欠采样，但必须另外安排频带，避免不可分辨的重叠。

参考：[2]

定理中的无损重建依赖理想的采样值、带限假设及完整序列。现实记录只覆盖有限时间，重建滤波也只能近似实现；不能把有限文件中样点之间的平滑曲线自动视作原波形的精确副本。采样率给出时间取样的密度，却不能单独规定端点处理或重建误差。

采样还不同于量化：前者把时间位置离散化，后者把幅度映射到有限等级。提高采样率并不会自动消除量化误差，增加幅度位数也不能挽回已经发生的混叠。理解这一区别，才能把采样定理用于数字音频、图像和测量，而不夸大它对实际硬件的保证。

参考：[1] [3]