穷竭法

卷十第一题给出一种缩小余量的原则：在适用的量之间，每次从剩余部分减去超过其一半的部分，经过足够多步，就能使余量小于事先给定的较小量。证明还需要量能通过足够多的整数倍超过彼此的前提。

这不是要求某一步余量必须变为零。比如每次留下原来不到一半的面积，余量可以仍为正，却最终小于任何预先指定的正面积。正是这一点，让有限步骤能够针对某个假定差值发挥作用。

参考：[1]

卷十二第二题证明，两圆面积之比等于直径平方之比。证明在圆内作多边形，再反复平分剩余弧、增加边数，使圆与内接多边形之间的面积差越来越小。

若假设圆的面积比例偏向一个较小的面积，就选取足够细的内接多边形，使它已经大于这个假定面积，再与两圆内相应多边形之间的比例冲突。另一方向的假设也被排除，才得到精确比例。

参考：[2]

卷十二第五题在等高、三角形底的棱锥中作反复分割，用棱柱部分及越来越小的剩余棱锥证明体积比等于底面积比。同样的余量控制思路因而不只用于曲线围成的平面图形。

数值计算可以借助逐步细分估计大小，但得到若干位近似值，与证明一个精确面积或体积关系不同。穷竭法论证要解释误差为何能小于所需界限，以及相反假设为何会产生矛盾；不能只用图看起来足够密来代替这些步骤。

参考：[3]