可控性

控制理论中的可控性考察：选定系统模型、输入通道和允许的时间后，是否存在合适的输入，使状态从给定初值转移到目标。状态不是仅指仪表显示的一个输出，而是描述后续运动所需的一组变量，例如物体的位置和速度。拥有一个能开关设备的按钮，不等于能独立改变所有状态。

对于连续时间线性时不变模型dx/dt=Ax+Bu，A描述状态自身如何演化，B描述输入如何进入系统。在不预设输入幅值上限的经典条件下，完全可控意味着可以在有限时间把任意初态引到任意目标。这是存在性结论，不直接给出最省力、最安全或对误差最稳健的控制方案。

参考：[1] [2]

对n维状态构造可控矩阵C=[B，AB，…，A^(n−1)B]。若它的秩等于n，系统完全可控。B给出输入直接作用的方向，AB等列则体现输入经由系统内部耦合能够影响的其他方向；这些方向合起来覆盖整个状态空间，才满足判据。

例如，理想物体以加速度u为输入，状态为位置p和速度v，方程为dp/dt=v、dv/dt=u。对应A的两行为(0,1)、(0,0)，B为(0,1)的列向量；B与AB分别为(0,1)、(1,0)，彼此独立，因此矩阵秩为2。输入虽直接改变速度，也能通过时间积累改变位置，两个状态不需要各有一个执行器。

相反，如果两个状态互不耦合，而输入只作用于第一个状态，第二个状态就不能任意指定。是否可控取决于输入位置与内部耦合，不能仅由输入数量判断。

参考：[1]

可达性通常询问能否从零状态到达目标；有些文献把可控性更专门地定义为能否把初态驱动到零。对经典连续时间线性时不变模型，这些完全性条件等价，因此常用同一秩判据。离散时间中，若状态转移矩阵不可逆，“到零”与“从零到任意目标”未必等价，阅读结论时必须核对定义。

可稳定性要求能够通过反馈使系统渐近稳定，弱于完全可控。状态反馈无法移动不可控模态的特征值；不过，如果这些模态本来就会衰减，仍有可能实现整体稳定。例如两个独立状态各自衰减、输入只能作用于第一个时，系统并不完全可控，却可以是可稳定的。反过来，可控系统在没有合适反馈时也可能不稳定。

参考：[1] [2]

在上述连续时间无幅值约束模型中，完全可控的秩条件不依赖所选正时间区间的长度。但缩短时间可能要求非常大的输入，甚至远超实际设备的能力。给加速度、转矩或电压设定上限之后，有限时间内能到达的状态集合便会缩小。

模型误差同样重要：理论上很弱的耦合足以使矩阵满秩，实际却可能需要过大的控制能量，并对参数误差十分敏感。饱和、速率限制、碰撞禁区和非线性运动范围，都不能由一个满秩结果自动排除。工程判断应把模型可控性与受约束的轨迹可行性、反馈设计分别检验。

参考：[1] [2]