中学仪器室里的电学研究
1827年，格奥尔格·西蒙·欧姆在柏林出版《电路的数学研究》，把此前的导电实验整理进一套数学理论。这个节点的日期指书的出版；实验与论文已经在1825至1826年展开，并非同一年突然出现一条完整公式。
欧姆自1817年起在科隆教授数学和物理。学校收藏的科学仪器为他提供研究条件，但许多器械需要修理或补做。他通过阅读法国数学物理著作和亲手整理仪器，逐渐把研究重心转向电学。课堂中可以显示的电现象，要成为可计算的关系，必须把实验条件和读数方法控制得更严格。
先解决电源自身的变化
比较不同导线时，欧姆遇到一个困难：电流变化可能来自导线，也可能来自电源。早期化学电池的输出随使用情况变化，若在更换试样期间同时漂移，便难以判断读数差别究竟说明什么。
依照约翰·克里斯蒂安·波根多夫的建议，他改用铋与铜组成的热电偶。两种金属构成闭合回路，接点保持不同温度便产生电流；借助冰和热水等温度条件，电源较便于稳定控制。这不是用更强电源压倒误差，而是减少测量过程中同时变化的因素，让更换导线的效果能够被比较。
热电源仍是电路的一部分，它的金属段和接头也会影响电流。因此，分析对象必须包括整条闭合通路。把外接导线的性质与电源及其余连接部分分开，是从仪器读数走向电路关系的重要一步。
把磁针偏转变成数量
欧姆利用电流对磁针的作用进行测量。磁体悬挂在可扭转的细线上，电流流过下方导线时使它偏转；旋转扭秤的悬挂端，让磁体回到规定位置，所需的扭转量便可用来比较电流的作用。仪器给出的首先是角度读数，而不是今天电流表上直接显示的安培数。
在实验中，欧姆把待测导线接入回路，改变长度，并研究材料和粗细的影响。相同材料、相同截面下，导线长度改变会系统地影响电流；比较不同金属时，还必须考虑实际截面和接触状况。只知道两根线外观相近，并不足以把读数差异全部归因于材料。
1825年，他曾提出与后来定律不同的对数关系，随后修正。对实验记录的现代研究表明，这一过程既涉及装置，也涉及他当时怎样理解导电；不能把早期结果简单归为粗心测错。
从整条回路写出关系
1827年的书研究电在导体中的分布与流动，并借鉴傅里叶和泊松处理热传导的数学方法。欧姆把导线长度、截面和导电能力纳入统一描述，尤其关注条件不随时间变化的电路。用今天的语言说，稳定电流取决于电源的电动势，以及包括电源内部在内的整个回路电阻。
对材料和温度等条件固定、呈欧姆性导电的元件，现代形式写作电压等于电流乘以电阻。这里的要点是电阻在规定条件下保持稳定，从而可以预测改变电压后的电流；仅把任意一次测量的电压除以电流，并不足以证明对象服从欧姆定律。
这一框架也解释，增加一段导线会改变整条串联回路的电流，而不是只在新加的部分发生局部变化。各段的材料与几何尺寸共同决定电压分配，因此必须连同其他部分一起计算。
参考：[1]
成为工程方法之前和之后
把实验写成数学关系，意味着设计者能够在制作电路前估计变化方向：同种材料的导线加长，电阻增加；增大截面，则有助于降低电阻。在电源一定时，接收装置、连接线和接点不能各自孤立选择，要检查它们组成的整体是否能提供所需电流。
欧姆的书因此给测量和设计提供了相通语言。实验者可以用已知导线比较未知对象，工程人员也可以依据测得的电阻配置回路。但这套方法需要稳定条件和合适模型；温度显著变化或导电行为并非线性的器件，不能直接用一个不变电阻概括。1827年的贡献在于系统化电路关系，后来的仪器、单位和工业采用则使它逐渐成为日常工具。